INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO “DAVID AUSUBEL”
TECNOLOGÍA EN: CONTABILIDAD Y AUDITORIA
INVESTIGACIÒN
OPERATIVA
GUÍA DIDÁCTICA
NIVEL
CUARTO NIVEL
QUITO
- ECUADOR
INTRODUCCIÓN
La Investigación de Operaciones
o Investigación Operativa, es una de las ramas de la matemática aplicada cuyo
desarrollo ha contribuido fuertemente para mejorar y elevar los niveles de
productividad de las organizaciones, pasando por el desarrollo de modelos
lineales en su inicio, hasta llegar al desarrollo de poderosos simuladores que
permiten anticipar las implicaciones de una o más decisiones antes de ponerlas
en práctica, minimizando de esta manera los riesgos de implementación.
El éxito de su aplicación ha sido demostrado en campos tan diferentes
como el militar, las finanzas, la producción, los servicios, logística,
medicina, nutrición, etc.
Espero sinceramente que el
desarrollo de este módulo, despierte en el estudiante la curiosidad por
aprender más sobre la Investigación Operativa y sus aplicaciones, así como
también le permita poner en práctica todo lo desarrollado en clase con el fin
de que pueda en su momento tomar decisiones oportunas y racionales.
CONTENIDO
UNIDAD 1
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Introducción a la
Investigación Operativa
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1.1
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Introducción, los modelos
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1.2
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Tipos de modelos
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1.3
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Otros tipos de modelos
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1.4
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Ejercicios sobre modelos
probabilísticos
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UNIDAD 2
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Toma de decisiones
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2.1
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Toma de decisiones en condiciones de incertidumbre
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2.2
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Método de ganancias Condicionales
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2.3
|
Método de Perdidas Condicionales
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2.4
|
Método de Análisis Marginal
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2.5
|
Ejercicios de Aplicación
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UNIDAD
3
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Optimización de funciones
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3.1
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Máximos y Mínimos de una función
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3.2
|
Aplicaciones
administrativas y económicas de
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máximos y mínimos en
análisis marginal
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3.3
|
Maximización de funciones
Administrativas con
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múltiples variables
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3.4
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Método de multiplicaciones
de Lagrange
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3.5
|
Ejercicios de aplicación
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UNIDAD 4 RAZONAMIENTO Y PROGRAMACION LINEAL
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RAZONAMIENTO LOGICO
RAZONAMIENTO VERBAL
COMPRENSION LECTORA
PROBABILIDADES
4.1 Definición,
aplicaciones
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4.2
|
Características generales de PL
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4.3
|
Procedimientos para la
solución de la PL
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4.4
|
Métodos para la solución de
problemas, intr.
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4.5
|
Ejercicios de aplicación
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4.6
|
Métodos para el PL máximos
y mínimos
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COMPETENCIAS
COMPETENCIA GENERAL
Toma una decisión a la hora de resolver un problema tal es el
caso de los modelos e Investigación de Operaciones que se emplean según sea la
necesidad.
COMPETENCIAS DE UNIDADES
- Desarrolla la capacidad para
poder identificar, analizar, formular, y resolver problemas de decisión
que surjan en sistemas reales.
•
Inculca la importancia del análisis racional y objetivo de los
casos que se presentan.
•
Desarrolla la capacidad para poder OPTIMIZAR que surjan en sistemas
reales.
•
Entregar las herramientas necesarias de la PROGRAMACION LINEAL
ORIENTACIONES
DE ESTUDIO
NOTA:
En este
texto guía se encuentra desarrollados los temas que corresponden a este módulo,
y las tareas que usted debe desarrollar;
con la ayuda del tutor usted llegará a dominar el conocimiento.
1.
El estudiante tiene las oportunidades que sean
necesarias para aclarar los temas que no comprenda mediante la explicación del
tutor ya sea de manera presencial o mediante el correo electrónico.
2.
Las tareas serán enviadas por el tutor, de acuerdo
a las fechas del calendario y de acuerdo al desarrollo del módulo.
3.
Es obligación del estudiante asistir a cada una de
las tutorías presenciales programadas en el calendario de actividades.
4.
Todo trabajo del estudiante será evaluado
cuantitativamente.
5.
Al final el tutor evaluara el módulo en su
totalidad.
6.
De requerir cualquier información dirigirse al
correo de la dirección académica y será atendido inmediatamente en su consulta.
GRACIAS.
CAPITULO
I
INTRODUCCIÓN
La toma de
decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa un problema y
determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a formular un
objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas de
solución y evaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso
puede se cualitativo o cuantitativo.
El enfoque
cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las habilidades
necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con la
práctica. En muchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas decisiones.
El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del estudio de
herramientas matemáticas que le permitan a la persona mejorar su efectividad en
la toma de decisiones. Este enfoque es útil cuando no se tiene experiencia con
problemas similares o cuando el problema es tan complejo o importante que
requiere de un análisis exhaustivo para tener mayor posibilidad de elegir la
mejor solución.
La investigación
de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases cuantitativas
para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad para
hacer planes a futuro.
En el ambiente
socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los métodos
tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e inadmisibles ya
que los responsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones
se enfrentan a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que requieren
de soluciones creativas y prácticas apoyadas en una base cuantitativa sólida.
En organizaciones
grandes se hace necesario que el tomador de decisiones tenga un conocimiento
básico de las herramientas cuantitativas que utilizan los especialistas para
poder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las soluciones y
recomendaciones que se le presenten.
En organizaciones
pequeñas puede darse que el tomador de decisiones domine las herramientas
cuantitativas y él mismo las aplique para apoyarse en ellas y así tomar sus
decisiones.
Desde al
advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de un
crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las
organizaciones. Los pequeños talleres artesanales se convirtieron en las
corporaciones actuales de miles de millones. Una parte integral de este cambio
revolucionario fue el gran aumento en la división del trabajo y en la
separación de las responsabilidades administrativas en estas organizaciones.
Los resultados han sido espectaculares. Sin embargo, junto con los beneficios,
el aumento en el grado de especialización creo nuevos problemas que ocurren
hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es las tendencias de
muchas de las componentes de una organización a convertirse en imperios
relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores, perdiendo
con esto la visión de la forma en que encajan sus actividades y objetivos con
los de toda la organización. Lo que es mejor para una componente, puede ir en
detrimento de otra, de manera que pueden terminar trabajando con objetivos
opuestos. Un problema relacionado con esto es que, conforme la complejidad y la
especialización crecen, se vuelve más difícil asignar los recursos disponibles
a las diferentes actividades de la manera más eficaz para la organización como
un todo. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de
resolverlos, proporcionaron el ambiente adecuado para el surgimiento de la Investigación Operativa o Investigación de
Operaciones.
investigación de
operaciones (IO).
Las raíces de la investigación de operaciones
se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para
emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo,
el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi
siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la
segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad
urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a
las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto,
las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un
gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros
problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación
sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los
primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del
nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A
través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones
antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la
victoria de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran
ayuda en a isla de campaña en el pacífico.
Al terminar la guerra, el éxito de la
investigación de operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés
en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosión industrial
seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y
especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano.
Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los
consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO
durante la guerra, que estos
problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero
en un contexto diferente. Cuando comenzó la década de 1950, estos individuos
habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria,
los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado
con rapidez.
Se pueden identificar por lo menos otros dos
factores que jugaron un papel importante en el desarrollo de la investigación
de operaciones durante este período. Uno es el gran progreso que ya se había
hecho en el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Después de
la guerra, muchos científicos que habían participado en los equipos de IO o que
tenían información sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar
resultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes.
Un ejemplo sobresaliente es el
método simplex para resolver problemas de programación lineal,
desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas
características de la investigación de operaciones, como programación lineal, programación dinámica, líneas de
espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo
antes del término de la década de 1950.
Un segundo factor que dio ímpetu al
desarrollo de este campo fue el advenimiento de la computadoras. Para
manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentes a esta
disciplina, por lo general se requiere un gran número de cálculos. Llevarlos a
cabo a mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la
computadora electrónica digital, con su capacidad para realizar cálculos
aritméticos, miles o tal vez millones de veces más rápido que los seres humanos,
fue una gran ayuda para la investigación de operaciones. Un avance más tuvo
lugar en la década de 1980 con el desarrollo de las computadoras personales
cada vez más rápidas, acompañado de buenos paquetes de software para
resolver problemas de IO, esto puso las técnicas al alcance de un gran número
de personas. Hoy en día, literalmente millones de individuos tiene acceso a
estos paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa toda una gama de
computadoras, desde las grandes hasta las portátiles, para resolver problemas
de investigación de operaciones.
Naturaleza de la
investigación de operaciones
Como su nombre lo dice, la investigación de
operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones".
Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren
a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de
una organización. La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial
y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa
en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la construcción, las
telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la
milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama
de aplicaciones es extraordinariamente amplia.
La parte de investigación en el nombre
significa que la investigación de operaciones usa un enfoque similar a la
manera en que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos
establecidos. En gran medida, se usa el método científico para
investigar el problema en cuestión. (De hecho, en ocasiones se usa el término ciencias
de la administración como sinónimo de investigación de operaciones.) En
particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación
del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El siguiente
paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que
intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la
hipótesis de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de
las características esenciales de la situación como para que las conclusiones
(soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. Después, se
llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis,
modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este
paso se conoce como validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la
investigación e operaciones incluye la investigación científica creativa de las
propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto.
En particular, la IO se ocupa también de la administración práctica de la
organización. Así, para tener éxito, deberá también proporcionar conclusiones
claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite.
Una característica más de la investigación de
operaciones es su amplio punto de vista. Como quedó implícito en la sección
anterior, la IO adopta un punto de vista organizacional. de esta manera,
intenta resolver los conflictos de intereses entre las componentes de la
organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización
completa. Esto no significa que el estudio de cada problema deba considerar en
forma explícita todos los aspectos de la organización sino que los objetivos
que se buscan deben ser consistentes con los de toda ella.
Una característica adicional es que la
investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución,
(llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. (Decimos
una mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchas
soluciones que empaten como la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el
estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible.
Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las necesidades
reales de la administración, esta "búsqueda de la optimidad" es un
aspecto importante dentro de la investigación de operaciones.
Todas estas características llevan de una
manera casi natural a otra. Es evidente que no puede esperarse que un solo
individuo sea un experto en todos lo múltiples aspectos del trabajo de
investigación de operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un
grupo de individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando
se va a emprender un estudio de investigación de operaciones completo de un
nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de equipo.
Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en matemáticas,
estadística y teoría de probabilidades, al igual que en economía, administración de empresas,
ciencias de la computación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del
comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de investigación de
operaciones. El equipo también necesita tener la experiencia y las
habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada de todas las
ramificaciones del problema a través de la organización.
CÓMO SE TRABAJA
EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
GRAFICO 1
METODOLOGIA DE INVESTIGACION OPERATIVA
LAS PRINCIPALES HERRAMIENTAS DE LA
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Cuando hablamos de herramientas en IO, nos
estamos refiriendo a los diferentes modelos teóricos (como por ejemplo, modelos
de transporte y teoría de colas), y a otras disciplinas (como matemática,
administración, economía, etcétera), que se utilizan como instrumentos de
trabajo habitual para el profesional de la Investigación de Operaciones. Debe
quedar claro, sin embargo, que cada día se agregan más tipos de modelos y otras
disciplinas imposibles de enumerar en este momento.
De la misma manera la Investigación de
Operaciones es considerada, ella misma como una herramienta al servicio de
otras disciplinas (tal como reza el título de nuestros artículos). Es bien
conocido que la Administración
de Negocios se ha estado beneficiando grandemente de la Investigación de
Operaciones ahora que se ha iniciado toda una revolución con el uso de Planificación Estratégica,
Reingeniería y los programas de Calidad Total, para mencionar algunos.
A continuación presentamos una lista, no
exhaustiva, de diferentes tipos de modelos que se podrían considerar como
herramientas de la Investigación de Operaciones, sugerimos al lector revisarla
y compararla con los contenidos de libros clásicos de I.O:
1. Modelos gráficos de
programación lineal.
2. Modelos algebraicos de
programación lineal.
3. Redes y programación lineal
para transporte.
4. Modelos de toma de decisión en
condiciones de incertidumbre.
5. Modelos de toma de decisión en
condiciones de certeza.
6. Modelos Bayesianos.
7. Procesos estocásticos con
cadenas de Markov.
8. Líneas de espera (Teoría de
colas).
9. Modelos de optimización con
redes para la planeación, ejecución y control de proyectos.
10. Cadenas de Markov para el reemplazo de
activos fijos.
11. Modelos de inventarios determinísticos.
12.
Modelos de inventarios probabilísticos.
13. Modelos de programación dinámica y teoría
de juegos.
14. Modelos de simulación para la obtención
de información experta.
15. Modelos heurísticos de autoaprendizaje y
autocorrección.
Los expertos Hillier y Lieberman dicen en su
tratado (usado como texto durante varias generaciones de estudiosos de la
Investigación de Operaciones) con la Revolución Industrial se inventó la
división del trabajo y esto trajo como consecuencia un crecimiento en la
dimensión y complejidad de las organizaciones. Como ya lo hemos comentado, la
superespecialización de los individuos, los departamentos de las industrias y
aún las mismas industrias, produjo un efecto de aparente desorden (a veces
aparente y a veces real) dentro de las organizaciones, ya que se intentaba
armar rompecabezas con todas las piezas que producían los especialistas. Sin
las técnicas y modelos de la I.O. la situación hubiese devenido en un caos, fue
esta herramienta (o si lo queremos decir en términos más globales, las
herramientas) la que permitió organizar todos los cabos sueltos y al mismo
tiempo la situación hizo que la I.O. creciera.
Nosotros sabemos que la reingeniería propone
olvidarnos de la división del trabajo y regresar a una especie de todología ya
que esto evita los pasos laterales que no agregan valor a los procesos y nos da
la opción de atender directamente al beneficiario del proceso ¡el cliente!. Las
técnicas de redes, teoría de colas, modelos de inventarios, programación
lineal, transporte, etcétera, aunado a la capacitación del personal y a la
tecnología cambiante y agresiva son, en esta era de la Planificación
Estratégica, los instrumentos indispensables para la Reingeniería y la Calidad
Total.
PROGRAMACION
LINEAL
Muchas personas clasifican el desarrollo de
la Programación Lineal (PL) entre los avances científicos más importantes de
mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta común que ha
ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y negocios, incluyendo
industrias medianas en distintos países del mundo. ¿Cuál es la naturaleza de
esta notable herramienta y qué tipo de problemas puede manejar? Expresado
brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de
asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera
posible (es decir, en forma óptima). Este problema de asignación puede surgir
cuando deba elegirse el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos
escasos para realizarlas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar
esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de
instalaciones productivas a los productos, hasta la asignación de los recursos
nacionales a las necesidades de un país; desde la planeación agrícola, hasta el
diseño de una terapia de radiación; etc. No obstante, el ingrediente común de
todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades.
Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios
al mismo tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se tiene el
criterio de frescura, tamaño, tipo (blanco, integral u otro), costo y rebanado
o sin rebanar. Se puede ir un paso más adelante y dividir estos criterios en
dos categorías: restricciones y el objetivo. Las restricciones son las
condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo consideración. Si
más de una alternativa satisfacen todas las restricciones, el objetivo se usa
para seleccionar entre todas las alternativas factibles. Cuando se elige una
pieza de pan, pueden quererse 100 gr. de pan blanco rebanado y hecho no antes
de ayer. Si varias marcas satisfacen estas restricciones, puede aplicarse el objetivo
de un costo mínimo y escoger las más barata.
Existen muchos problemas administrativos que
se ajustan a este molde de tratar de minimizar o maximizar un objetivo que está
sujeto a una lista de restricciones. un corredor de inversiones, por ejemplo,
trata de maximizar el rendimiento sobre los fondos invertidos pero las posibles
inversiones están restringidas por las leyes y las políticas bancarias. Un
hospital debe planear que las comidas para los pacientes satisfagan ciertas
restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo
tiempo que se trata de minimizar el costo. Un fabricante, al planear la
producción futura, busca un costo mínimo al mismo tiempo cómo cumplir
restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción, los
inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La PL se ha aplicado con
éxito a estos y otros problemas.
La PL es una técnica determinista, no incluye
probabilidades y utiliza un modelo matemático para describir el problema. El
adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben
ser funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a
programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la
PL trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo,
esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo)
entre todas las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos a las
actividades es la aplicación más frecuente, la PL tiene muchas otras
posibilidades. De hecho, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al
formato general del modelo de PL es un problema de PL.
Supuestos
de la programación lineal.
Existe un número de suposiciones realizadas en cada modelo. La utilidad de un
modelo está directamente relacionada con la realidad de los supuestos.
El
primer supuesto tiene que ver con la forma lineal de las funciones. Ya que el
objetivo es lineal, la contribución al objetivo de cualquier decisión es
proporcional al valor de la variable de decisión. Producir dos veces más de
producto producirá dos veces más de ganancia, contratando el doble de páginas
en las revistas doblará el costo relacionado con las revistas. Es una
Suposición de Proporción.
Además, la contribución de una variable a la función objetivo es independiente
de los valores de las otras variables. La ganancia con una computadora Notebook
es de $10,750.00, independientemente de cuantas computadoras Desktop se producen.
Este es un Supuesto de Adición.
Análogamente, ya que cada
restricción es lineal, la contribución de cada variable al lado izquierdo de
cada restricción es proporcional al valor de la variable e independiente de los
valores de cualquier variable.
Estas suposiciones son bastante restrictivas. Veremos, sin embargo, que ser
claros y precisos en la formulación del modelo puede ayudar a manejar
situaciones que parecen en un comienzo como lejanos a estos supuestos.
El
siguiente supuesto es la Suposición de ser Divisible. Es posible tomar una
fracción de cualquier variable. Por ejemplo, en un problema de marketing, qué
significa comprar 2.67 avisos en la televisión?. Es posible que la suposición
de ser divisible sea insatisfecha en este ejemplo. O puede ser que tales
unidades de 2.67 avisos correspondan a 2,666.7 minutos de avisos, en cuyo caso
redondeando la solución serían 2,667 minutos con una mínima duda que esté
cercana a la solución óptima. Si la suposición de divisible no es válida,
entonces se usará la técnica de Programación Lineal Entera.
La última suposición es el
Supuesto de Certeza. La Programación Lineal no permite incertidumbre en los
valores.
Será difícil que un problema cumpla con todas las suposiciones de manera
exacta. Pero esto no negará la factibilidad de uso del modelo. Un modelo puede
ser aún útil aunque difiera de la realidad, si se es consistente con los
requerimientos más estrictos dentro del modelo y se tiene claras sus limitaciones
al interpretar los resultados.
Existen limitaciones prácticas
para el uso de la PL. Una se relaciona con los cálculos. En general se necesita
una computadora. Desafortunadamente, las calculadoras, aun las programables,
son poco útiles, puesto que la PL tiene necesidad de gran cantidad de memoria o
almacenamiento. Si no se tiene acceso a una computadora, se estará limitado a
problemas muy sencillos. La otra limitación se refiere al costo de formular un
problema de PL. En teoría, podría usarse PL, por ejemplo, para hacer las
compras semanales de abarrotes. Sin embargo, sería necesario conocer todas las
compras posibles que pueden realizarse (éstas serían las variables), además de
cada restricción como sabor, número de comidas, vitaminas y proteínas. Es obvio
que el costo de obtener todos estos datos excede lo que se podría ahorrar si se
hicieran las compras óptimas. Antes de emprender una aplicación de PL, debe
considerarse la disponibilidad y el costo de los datos necesarios.
Formulación de modelos de Programación Lineal.
Aunque se ponga en duda, la parte más difícil de PL es reconocer cuándo ésta puede aplicarse y formular el problema matemáticamente. Una vez hecha esa parte, resolver el problema casi siempre es fácil.
Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse afirmaciones lógicas en términos matemáticos. Esto se realiza cuando se resuelven “problemas hablados” al estudiar un curso de álgebra. Algo muy parecido sucede aquí al formular las restricciones. Por ejemplo, considérese la siguiente afirmación: A usa 3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. Si deben usarse todas las 100 horas disponibles, la restricción será:
3A + 2B =
100
Sin embargo, en la mayoría de
las situaciones de negocios, no es obligatorio que se usen todos los recursos
(en este caso, horas de mano de obra). Más bien la limitación es que se use,
cuando mucho, lo que se tiene disponible. Para este caso, la afirmación
anterior puede escribirse como una desigualdad:
3A + 2B £
100
Para que sea aceptable para
PL, cada restricción debe ser una suma de variables con exponente 1. Los
cuadrados, las raíces cuadradas, etc. no son aceptables, ni tampoco los
productos de variables. Además, la forma estándar para una restricción pone a
todas las variables del lado izquierdo y sólo una constante positiva o cero del
lado derecho. Esto puede requerir algún reacomodo de los términos. Si, por
ejemplo, la restricción es que A
debe ser por los menos el doble de B,
esto puede escribirse como:
A ³
2B
ó A -
2B ³ 0
Nótese que pueden moverse
términos de un lado a otro de las desigualdades como si fuera un signo de
igualdad. Pero al multiplicar una desigualdad por -1, el sentido de esta
desigualdad se invierte. Puede ser necesario hacer esto para que los
coeficientes del lado derecho sean positivos. Por ejemplo, si se quiere que A sea por lo menos tan grande
como B - 2, entonces:
A
|
³
|
B -
2
|
ó
A - B
|
- 2
|
|
por último B -
A
|
³
|
2
|
|
| |
|
| |
Una nota final sobre
desigualdades: es sencillo convertir una desigualdad en una ecuación. Todo lo
que se tiene que hacer es agregar (o restar) una variable extra. Por ejemplo:
B - A
£ 2 es lo mismo
que B - A
+ S = 2
en donde S
representa la diferencia, o la holgura, entre B -A y 2. S se llama variable de
holgura. Por otro lado, se restaría una variable de superávit en el caso
siguiente:
A -
2B ³ 0 es lo mismo
que A -
2B -S = 0
Algunos métodos de solución
(como el Método Símplex) y la mayoría de los programas de computadora (como el
MathProg, que viene en el ORCourseware, que acompaña al libro “Introducción a
la Investigación de Operaciones” de los autores Hillier y Lieberman) requieren
que todas las desigualdades se conviertan en igualdades.
La
metodología de PL requiere que todas las variables sean positivas o cero, es
decir, no negativas. Para la mayoría de los problemas esto es real, no se
querría una solución que diga: prodúzcanse menos dos cajas o contrátense menos
cuatro personas.
Mientras que no existe un límite en el número de restricciones que puede tener
un problema de PL, sólo puede haber un objetivo. La forma matemática del
objetivo se llama función objetivo. Debe llevar consigo el maximizar o
minimizar alguna medida numérica. Podría ser maximizar el rendimiento, la
ganancia, la contribución marginal o los contactos con los clientes. Podría ser
minimizar el costo, el número de empleados o el material de desperdicio. Con
frecuencia el objetivo es evidente al observar el problema.
Como el valor de la función objetivo no se conoce hasta que se resuelve el
problema, se usa la letra Z
para representarlo. La función objetivo tendrá, entonces, la forma:
Maximizar
Z = 4A + 6Bó
Minimizar
Z = 2x1 + 5x2
Se analiza una aplicación para ilustrar el formato de los problemas de
Programación Lineal.
Planeación de la fuerza de trabajo.
El gerente de personal de “La Tortuga Veloz, S.A. de C.V.”, está analizando la
necesidad de mano de obra semi calificada durante los próximos seis meses. Se
lleva 1 mes adiestrar a una persona nueva. Durante este período de
entrenamiento un trabajador regular, junto con uno en adiestramiento
(aprendiz), producen el equivalente a lo que producen 1.2 trabajadores
regulares. Se paga $500.00 mensuales a quien está en entrenamiento, mientras
que los trabajadores regulares ganan $800.00 mensuales. La rotación de personal
entre los trabajadores regulares es bastante alta, del 10%
mensual. El
gerente de personal debe decidir cuántas personas necesita contratar cada mes
para adiestramiento. En seguida se da el número de meses-hombre necesarios.
También se desea tener una fuerza de trabajo regular de 110 al principio de julio.
En cuanto al 1º de enero, hay 58 empleados regulares.
Mes
|
Meses-hombre requeridos
|
Mes
|
Meses-hombre
requeridos
|
Enero
|
60
|
Abril
|
80
|
Febrero
|
50
|
Mayo
|
70
|
Marzo
|
60
|
Junio
|
100
|
Este problema tiene un aspecto dinámico, ya que la fuerza de trabajo en
cualquier mes depende de la fuerza de trabajo regular y en adiestramiento del
mes anterior. Para cualquier mes, el número total de meses-hombre disponibles
se puede expresar como sigue:
Meses-hombre disponibles: Ri + 0.2Ai
en donde: Ri
= número de trabajadores regulares al principio del mes
Ai = número de aprendices contratados en el mes.
Entonces los requerimientos de cada mes pueden expresarse por
las restricciones:
Enero
|
R1
+ 0.2A1
|
³
|
60
|
Febrero
|
R2
+ 0.2A2
|
³
|
50
|
Marzo
|
R3
+ 0.2A3
|
³
|
60
|
Abril
|
R4
+ 0.2A4
|
³
|
80
|
Mayo
|
R5
+ 0.2A5
|
³
|
70
|
Junio
|
R6
+ 0.2A6
|
³
|
100
|
julio
(principio)
|
R7
|
³
|
110
|
Debido a la rotación, el 10% de los trabajadores regulares
se van cada mes. Así, el número de trabajadores regulares disponibles, por
ejemplo, al principio de febrero sería:
R2
= 0.9R1 + A1
En la misma forma, pueden escribirse las ecuaciones para el
número de trabajadores disponibles al principio de cada mes:
Enero
|
R1
|
=
|
58 (dado)
|
Febrero
|
R2
|
=
|
0.9R1
+ A1
|
Marzo
|
R3
|
=
|
0.9R2
+ A2
|
Abril
|
R4
|
=
|
0.9R3
+ A3
|
Mayo
|
R5
|
=
|
0.9R4
+ A4
|
Junio
|
R6
|
=
|
0.9R5
+ A5
|
Julio
|
R7
|
=
|
0.9R6
+ A6
|
El objetivo global del gerente de personal es minimizar el
costo. La función objetivo es:
Minimizar:
Z = 800(R1 + R2 + R3 + R4 + R5
+ R6) + 500(A1 + A2 + A3 + A4
+ A5 + A6)
Ahora se tiene el
problema en el formato general de PL con 13 variables y 14 restricciones.
Los tomadores de decisiones en las empresas establecen criterios que debe
cumplir una solución y, después, buscan esa solución. En PL, los criterios se
expresan como restricciones. Se exploran las soluciones posibles y se usa la
función objetivo para elegir la mejor de entre aquellas que cumplen con los
criterios. La PL se denomina técnica de optimización, pero optimiza sólo dentro
de los límites de las restricciones. En realidad es un método de satisfacción
de criterios.
Forma estándar de los modelos de Programación Lineal.[i]
Supóngase
que existe cualquier número (digamos m) de recursos limitados de cualquier
tipo, que se pueden asignar entre cualquier número (digamos n) de
actividades competitivas de cualquier clase. Etiquétense los recursos con
números (1, 2, ..., m) al igual que las actividades (1, 2, ..., n).
Sea xj (una variable de decisión) el nivel de la actividad j,
para j = 1, 2, ..., n, y sea Z la medida de
efectividad global seleccionada. Sea cj el incremento que resulta en
Z por cada incremento unitario en xj (para j = 1, 2,
..., n). Ahora sea bi la cantidad disponible del recurso i
(para i = 1, 2, ..., m). Por último defínase aij como
la cantidad de recurso i que consume cada unidad de la actividad j
(para i = 1, 2, ..., m y j = 1, 2, ..., n).
Se puede formular el modelo matemático para el problema general de asignar
recursos a actividades. En particular, este modelo consiste en elegir valores
de x1, x2, ..., xn para:
Maximizar Z = c1x1 + c2x2
+ ... + cnxn,
sujeto a las restricciones:
a11x1
+ a12x2 + ... + a1nxn £ b1
a21x1 + a22x2
+ ... + a2nxn £ b2
am1x1 + am2x2
+ ... + amnxn £ bm y
x1 ³ 0, x2 ³0,
..., xn ³ 0
Ésta se llamará nuestra forma estándar
(porque algunos libros de texto adoptan otras formas) para el problema de PL.
Cualquier situación cuya formulación matemática se ajuste a este modelo es un
problema de PL.
En este momento se puede resumir la terminología que usaremos para los modelos
de PL. La función que se desea maximizar, c1x1 + c2x2
+ ... + cnxn, se llama función objetivo. Por lo
general, se hace referencia a las limitaciones como restricciones. Las
primeras m restricciones (aquellas con una función del tipo ai1x1
+ ai2x2 + ... + ainxn, que
representa el consumo total del recurso i) reciben el nombre de restricciones
funcionales. De manera parecida, las restricciones xj ³ 0 se llaman restricciones de no negatividad. Las
variables xj son las variables de decisión. Las constantes de
entrada, aij, bi, cj, reciben el nombre de parámetros
del modelo.
Solución
Gráfica de Modelos Lineales con dos Variables.
Para la solución gráfica de programas lineales con dos variables, lo que se
tiene que hacer es trazar un eje de coordenadas cartesianas, para graficar las
desigualdades dadas por el problema, después encontrar el Área de Soluciones
Factibles y proceder a graficar la función objetivo para conocer el valor
óptimo (maximizar o minimizar) que será la solución del problema.
Ejemplo: Problema de mezcla de productos.
Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de
producción para dos artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de
material y con 72 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de
material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades
de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen
de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por
unidad. El fabricante prometió construir por lo menos dos mesas.
Paso 1: formulación del problema.
El primer paso para resolver el problema es expresarlo en
términos matemáticos en el formato general de PL. ¿Cuál es el objetivo? Es
maximizar la contribución a la ganancia. Cada unidad de mesas o sillas
producidas contribuirá con $5 en la ganancia. Así las dos alternativas son la
producción de mesas y la producción de sillas. Ahora puede escribirse la
función objetivo:
Maximizar
Z = 5x1 + 5x2
en
donde: x1 = número de
mesas producidas
x2 = número de sillas producidas
¿Cuáles son las restricciones o limitaciones del problema?
Existen tres restricciones. Primero, el material está limitado a 96 unidades.
Cada mesa se lleva 12 unidades de material y cada silla usa 8 unidades. La
primera restricción es, entonces:
12x1
+ 8x2 £ 96
La segunda restricción es el total de horas de mano de obra. Una
mesa se lleva 6 horas, una silla 12 horas y se dispone de un total de 72 horas.
Así:
6x1
+ 12x2 £ 72
Existe una limitación más. El fabricante prometió producir por
lo menos dos mesas. Esto puede expresarse como:
x1
³ 2
Por último, las restricciones de no negatividad son:
x1
³ 0, x2 ³ 0
Poniendo todo junto el modelo se tiene:
Maximizar Z = 5x1 + 5x2
Restricciones: 12x1 + 8x2 £ 96
6x1 + 12x2 £ 72
x1 ³ 2
x1 ³ 0, x2 ³ 0
Paso
2: gráfica de las restricciones.
El siguiente paso en el método gráfico es dibujar todas las
restricciones en una gráfica. Esto puede hacerse en cualquier orden. Por
conveniencia se comenzará con las restricciones de no negatividad. Éstas se
muestran en la siguiente figura:
En esta gráfica, una
solución se representaría por un punto con coordenadas x1 (mesas) y
x2 (sillas). Las coordenadas representarían las cantidades de cada
artículo que se deben producir. El cuadrante superior derecho se llama Región
Factible puesto que es el único cuadrante en que pueden estar las
soluciones. Los otros tres cuadrantes no son factibles, ya que requerirían la
producción de cantidades negativas de mesas o de sillas o de ambas.
La siguiente restricción es
x1 ³ 2. La manera más sencilla de dibujar las restricciones de recursos
es en dos pasos: (1) convertir una desigualdad en una ecuación y graficar la
ecuación y (2) sombrear el área apropiada arriba y abajo de la línea que
resulta en el paso 1. Convertir una igualdad en una ecuación aquí significa
ignorar la parte de “mayor que” o “menor que” de la restricción.
Así, en el ejemplo, x1
³ 2 se convierte en x1 =
2. Esta
ecuación está trazada en la siguiente figura:
Cualquier punto en la línea x1 = 2 satisface la
ecuación. Sin embargo, la restricción es más amplia, ya que cualquier punto x1 > 2 también la cumplirá. Esto incluye todos los puntos que están a
la derecha de la línea x1 = 2. Entonces, la región factible
incluye todos los valores de x1 que están sobre o a la derecha de
la línea x1 = 2.
La limitación sobre las horas de mano de obra es la siguiente
restricción. Como antes, primero se convierte en una ecuación: 6x1 +
12x2 = 72. Puede graficarse esta línea si se encuentran dos puntos
sobre ella. El par de puntos más sencillos de localizar son las intersecciones
con los ejes X1 y X2. Para encontrar la intersección con
el eje X2 se hace x1 = 0. La ecuación se reduce,
entonces, a:
12x2 = 72
x2 = 6
La intersección con el eje X1 se encuentra haciendo x2
= 0. Así:
6x1 = 72
x1 = 12
Estos dos puntos y la línea que los une se muestran en la
siguiente figura:
Cualquier punto que está
sobre o abajo de esta línea cumplirá con la restricción. Cualquier punto
arriba de esta línea requerirá más de 72 horas de mano de obra y no es
aceptable. En la siguiente figura se combina esta restricción con la anterior.
En la región factible, ambas restricciones se cumplen.
La última restricción es la de material. Siguiendo el
procedimiento anterior, primero se encuentran las intersecciones para la
igualdad. Éstas son x1 = 0, x2 = 12 y x1 = 8,
x2 =0. Se localizan los dos puntos en la gráfica; se traza la línea,
y como la restricción es del tipo menor o igual que, se sombrea el área que
está abajo de la línea. El resultado se muestra en la siguiente figura:
Cualquier solución que esté en la frontera o dentro del
área sombreada cumplirá con todas las restricciones. Ahora se utilizará la
función objetivo para seleccionar la solución óptima.
Paso 3: obtención de la solución óptima: líneas de indiferencia.
Para encontrar la solución óptima, se grafica la función
objetivo en la misma gráfica de las restricciones. La función objetivo en este
problema es Z = 5x1 + 5x2. Como todavía no se conoce el
máximo valor factible de Z, no puede trazarse el óptimo de la función objetivo.
No obstante, es posible suponer algunos valores para Z y graficar las líneas
resultantes. En la siguiente figura se muestran las líneas para Z = 25 yZ =
50:
Las líneas de este tipo se llaman líneas de indiferencia,
porque cualquier punto sobre una línea dada da la misma ganancia total. Nótese
que la distancia perpendicular del origen a la línea aumenta al aumentar el
valor de Z. También, todas las líneas de indiferencia son paralelas entre sí.
Estas propiedades gráficas pueden usarse para resolver el problema.
En la siguiente figura, se ilustran todas las restricciones y las
dos líneas de indiferencia supuestas. En la gráfica puede observarse que la
línea de indiferencia para Z = 50 está completamente fuera de la región
factible. Para Z = 25, parte de la línea cae dentro de la región factible. Por
tanto, existe alguna combinación de x1 y x2 que satisface
todas las restricciones y da una ganancia total de $25. Por inspección, puede
observarse que hay ganancias más altas que son factibles.
Imaginando que la línea de indiferencia Z = 25 se mueve
hacia la línea Z = 50, de las propiedades de la gráfica que se hicieron notar
antes, el punto óptimo estará sobre la línea de indiferencia más lejana al
origen pero que todavía toque la región factible. Esto se muestra en la
siguiente figura:
Con el punto óptimo localizado gráficamente, la única
tarea que queda es encontrar las coordenadas del punto. Nótese que el punto
óptimo está en la intersección de las líneas de restricción para materiales y
horas de mano de obra. Las coordenadas de este punto se pueden encontrar
resolviendo el sistema de ecuaciones que forman estas dos restricciones
utilizando cualquiera de los métodos de solución (suma y resta, sustitución o
igualación). Las coordenadas de este punto resultan ser (6, 3). La sustitución
de este punto en la función objetivo da la ganancia máxima:
Z = 5(6) + 5(3) = $45
Resumen del método gráfico.
Para resolver gráficamente problemas de programación lineal:
1. Exprésense los datos del problema como una función objetivo y
restricciones.
2. Grafíquese cada restricción.
3. Localícese la solución óptima.
Ejercicio:
Ejemplo: Problema de dieta.
Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más
barata de dos alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de
vitaminas. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de
vitamina W, 50 unidades de vitamina X y 49 unidades de vitamina Y. Cada
kilogramo del alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de
vitamina X y 7 unidades de vitamina Y; cada kilogramo del alimento B
proporciona 10 unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de Y. El alimento A
cuesta 5 pesos/kilogramo y el alimento B cuesta 8 pesos/kilogramo.
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